Главная >> Физика 10 класс. Мякишев

Глава 5. Закон сохранения энергии

§ 42. Примеры решения задач по теме «Кинетическая энергия и её изменение»

Очень часто для решения задач о движении тела, скорость которого изменяется, удобно пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Такой способ позволяет решать задачи и в том случае, когда силы, действующие на тело, являются переменными. Очевидно, что решение подобных задач на основании второго закона Ньютона затруднено тем, что движение происходит с переменным ускорением.

Задача 1. Шофёр выключает двигатель и начинает тормозить, когда видит, что впереди меняют асфальт и дорога покрыта песком. Начальная скорость автомобиля 90 км/ч. Шофёр нажал на тормоз на расстоянии 60 м от границы между асфальтом и песком. Определите коэффициент трения колёс автомобиля о дорогу, покрытую песком, если машина до остановки проехала по ней 2,5 м. Коэффициент трения колёс машины об асфальт μ₁ = 0,5.

Р е ш е н и е. Согласно теореме об изменении кинетической энергии изменение кинетической энергии автомобиля равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на него.

На автомобиль действуют (рис. 5.5) сила тяжести m сила нормальной реакции опоры , сила трения, причём на первом участке пути сила трения равна Fтp1 = μ₁N, а на втором — Fтp2 = μ₂N.

Силы тяжести и нормальной реакции опоры перпендикулярны перемещению, поэтому работы их на данном перемещении равны нулю.

Тогда 0 - mυ²/2 = -F_тр1s₁ - F_тp2s₂ = -(μ₁s₁ + μ₂s₂)N.

Очевидно, что N = mg.

Подставив N в уравнение, получим mυ²/2 = (μ₁s₁ + μ₂s₂)mg.

Окончательно

Задача 2. Маятник, представляющий собой маленький шарик, подвешенный на тонкой нити длиной 1 м, отклонили так, что нить стала составлять с вертикалью угол 60°. Затем шарик отпустили. Определите скорость шарика в тот момент, когда угол отклонения нити равен 30° и когда шарик проходит положение равновесия.

Р е ш е н и е. На шарик во время движения действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения (рис. 5.6). Изменение кинетической энергии шарика при перемещении из точки А в точку В равно:

mυ²₂/2 - 0 = А_т + А_н.                     (1)

Работа силы натяжения равна нулю, так как она всё время перпендикулярна перемещению. На основании закона о независимости движений движение шарика можно рассматривать как сумму двух движений: по оси ОХ и по оси OY.

Работа силы тяжести при перемещении шарика вдоль оси ОХ равна нулю, так как сила тяжести перпендикулярна перемещению вдоль этой оси.

Работа силы тяжести при перемещении вдоль оси OY равна А_т = mgΔy, где Δу = h₁ - h₂.

Из треугольника АO₂O₁ получим O₁O₂ = lcosα₀, тогда h₁ = l - O₁O₂ = l(1 - cosα₀), а из треугольника ВO₂С получим O₂С = lcosα, h₂ = l - O₂С = l(1 - cosα).

Окончательно h₁ - h₂ = l(cosα - cosα₀).

Работа силы тяжести равна А_т = mgl(cosα - cosα₀).

Подставив найденное выражение для работы в уравнение (1), получим

m²₂/2 = mgl(cosα - cosα₀).

Скорость в точке В:

Перемещение шарика вдоль оси OY при движении из точки А в точку О равно h₁.

Тогда скорость шарика в точке О:

Задача 3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью υ₀ = 10 м/с. Определите наибольшую высоту подъёма h_mах, а также скорость тела на высоте, равной h_max/2. Силой сопротивления воздуха можно пренебречь.

Р е ш е н и е. Изменение кинетической энергии тела при подъёме на максимальную высоту равно работе силы тяжести: 0 - mυ²₀/2 = -mgh_max. Из этого уравнения сразу же получаем выражение для максимальной высоты подъёма: h_mах = υ²₀/2g = 5 м.

Скорость тела на некоторой высоте при падении равна его скорости на той же высоте при подъёме.

Определим скорость тела при падении с максимальной высоты. Согласно теореме об изменении кинетической энергии mυ²/2 - 0 = mgh = mgh_max/2. (Сила тяжести при спуске совершает положительную работу.) Тогда для скорости получаем формулу С учётом выражения для h_max окончательно получим

Задача 4. Груз тянут вверх по наклонной плоскости с углом а у основания. На высоте h верёвка обрывается. Определите скорость груза у основания плоскости. Коэффициент трения груза о плоскость равен μ.

Р е ш е н и е. На груз действуют силы тяжести, нормальной реакции опоры и трения (рис. 5.7).

Изменение кинетической энергии при соскальзывании груза равно:

mυ²/2 - 0 = А_т + А_тр.

Работа силы нормальной реакции опоры равна нулю, так как эта сила перпендикулярна перемещению.

Как видно из рисунка, работа силы тяжести равна А_т = mgl sina = mgh.

Сила трения F_тр = μN = μmgcosα.

Работа силы трения А_тр = -μmg cosα. Длина пути

Тогда А_тр = -μmgh cosα/sinα = -μmghctgα.

Подставив найденные выражения для работ сил тяжести и трения в уравнение (1), получим mυ²/2 = mgh - μmghctgα = mgh(1 - μctgα).

Тогда для скорости получим выражение

Задачи для самостоятельного решения

1. Мяч массой 1 кг падает с высоты 2 м. Определите изменение кинетической энергии мяча на первой и второй половинах пути.

2. Человек сначала несёт груз массой 4 кг до шкафа, а затем ставит его на шкаф, подняв груз на высоту 1 м. Определите работу силы тяжести, действующей на груз при его перемещении.

3. Скорость тела массой 2 кг изменяется согласно уравнению υ_х = 5 + 4t + 2t² . Определите работу сил, действующих на тело в течение первых четырёх секунд.

Образцы заданий ЕГЭ С1. Чему равен тормозной путь автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30 м/с по горизонтальной дороге? Коэффициент трения скольжения между дорогой и шинами автомобиля равен 0,3. С2. На столе закреплена доска длиной l = 0,9 м. На доске у её левого торца лежит небольшой брусок. Коэффициент трения скольжения бруска о доску μ = 0,5. Какую минимальную скорость υ0 нужно сообщить бруску, чтобы он соскользнул с правого торца доски? С3. Пуля летит горизонтально со скоростью υ0 = 150 м/с, пробивает стоящий на горизонтальной поверхности льда брусок и движется в прежнем направлении со скоростью 1/3 υ0. Масса бруска в 10 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между бруском и льдом μ = 0,1. На какое расстояние s переместится брусок к моменту, когда его скорость уменьшится на 10 %? С4. Бруски с массами m и 3m скользят по горизонтальной поверхности доски навстречу друг другу. Скорость каждого бруска перед абсолютно неупругим ударом равна по модулю υ = 3 м/с. Коэффициент трения скольжения между брусками и доской μ = 0,2. На какое расстояние переместятся слипшиеся бруски к моменту, когда их общая скорость уменьшится на 40 %? С5. В тело массой 4,8 кг, лежащее на гладком участке горизонтальной поверхности, попадает снаряд массой 0,2 кг, летящий под углом 60° к горизонту со скоростью 40 м/с, и застревает в нём. Попав на шероховатую часть поверхности, тело проходит до остановки путь, равный 12 см. Определите коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью.